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Optimización de la ratio de ocupación bajo condiciones de distanciamiento físico.

Distanciamiento físico.

Ilustración 1. Portada con teselado regular cuadrado.

Una de las recomendaciones sanitarias realizadas por la Organización Mundial de la Salud (OMS) para no propagar la COVID-19 es la que se refiere al distanciamiento social. Yo prefiero llamarlo distanciamiento físico porque no quiero distanciarme socialmente de nadie. Tan solo necesito aumentar la distancia física que me separa de un eventual interlocutor, pero sin perder por ello el contacto social.

La OMS recomienda mantener al menos un metro de distancia entre usted y las demás personas, en particular con aquellas que tosan, estornuden o tengan fiebre [1]. Para los propósitos de este estudio he considerado una distancia mínima de 2 metros, siguiendo las recomendaciones del Ministerio de Sanidad, Consumo y Bienestar Social (MSCBS) [2] y de los Centros para el Control y la prevención de Enfermedades (CDC) americano [3].

Distribución de la ocupación.   

Si tuviéramos que establecer una ratio de ocupación de personas en un espacio diáfano teniendo en cuenta la recomendación de distanciamiento físico de dos metros probablemente todos pensaríamos en un patrón o teselado regular cuadrado como el de la Ilustración 1.


La distribución de las personas siguiendo un teselado cuadrado resulta en una densidad de ocupación de 4,00 m²/persona.


Pero nuestro cerebro humano nos traiciona ya sea por asumir la primera solución sencilla que cumple con las especificaciones del problema, ya sea por el condicionamiento visual de ver el teselado cuadrado de la Ilustración 1.


Sin embrago, existe una solución mejor, mucho mejor, de hecho, es la óptima. ¿Quién la descubrió? Las abejas. No solo la descubrieron, también la implementaron.
La mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total es lo que se llama comúnmente retícula en forma de panal de abeja.

Ilustración 2. Panal de abejas. Joydeep / CC BY-SA. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Honeycomb_15_03_2012.jpg

Esta solución, aparentemente obvia hoy, fue formulada como conjetura desde antiguo. El primero en dejar un registro escrito de la conjetura del panal de abeja, allá por el 36 AC fue Marco Terencio Varrón. Se sospecha que los matemáticos ya la conocían antes. No fue hasta 1999 cuando el matemático Thomas Callister Hales demostró la conjetura y la elevó a la categoría de teorema. [4]

El problema de optimización de la densidad de ocupación también podría modelarse en el espacio, normalmente el euclideo tridimensional, como un clásico problema de empaquetamiento de esferas en patrones simétricos en el que la persona está ubicada en el centro de una esfera de radio igual a un metro.

En ese problema se trata de que las esferas rellenen la mayor proporción del espacio, es decir, que se maximice la densidad de empaquetamiento.

Carl Friedrich Gauss demostró que en el plano la mayor densidad de empaquetamiento es el del patrón hexagonal [5], siguiendo una retícula en forma de panal de abeja. El valor de esa densidad de empaquetamiento es:

Ecuación (1)

 

 

 

 

El espacio desperdiciado es la diferencia hasta la unidad (1.0), es decir, hasta saturar el espacio.

Densidad de ocupación bajo restricciones de distanciamiento físico.

Ilustración 3 Estudio del hexágono.

Para garantizar el distanciamiento físico de dos metros entre personas en recintos se puede asumir una distribución de las personas según una retícula hexagonal regular en la que cada persona se ubica en el centro de un hexágono cuya apotema es igual a un metro (Ap=1,00m).
La cuestión a resolver es la superficie de ese hexágono de apotema igual a un metro y lado desconocido.
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de altura igual a la apotema e hipotenusa igual al circunradio (radio de la circunferencia circunscrita del hexágono).

Ecuación (2)

 

 

 

 

Sustituyendo el valor de la apotema en (2) se obtiene el valor del circunradio, R. En el hexágono regular el circunradio R equivale a la longitud del lado del hexágono, L.

Ecuación (3)

 

 

 

 

Así, se dispone de todos los datos para calcular el área del hexágono.

Ecuación (4)

 

Ilustración 4. Distribución de personas según un teselado hexagonal.

 

 

La distribución de las personas siguiendo un teselado hexagonal resulta en una densidad de ocupación de 3,46 m²/persona.

Hasta que la crisis del nuevo coronavirus termine, e incluso más allá, aparece un escenario previsible en el que el distanciamiento físico deberá aumentarse en todos los ámbitos de la sociedad, especialmente aquellos en los que estábamos acostumbrados a grandes aglomeraciones de personas.

Así, por ejemplo, algunas de las densidades mínimas de ocupación de ciertas zonas o tipos de actividad previstas en la normativa vigente no garantizaría las recomendaciones de distancia física entre personas de 2,00 metros.

En la Tabla 1 se listan algunos de los valores de densidad de ocupación que quedarían por debajo del valor obtenido de 3,46 m²/persona en (4) y que podrían verse modificados temporalmente.

 

Tabla 1. Densidades de ocupación según CTE-DB-SI.

 

Referencias.

1. WHO. World Health Organization. Coronavirus disease (COVID-19) advice for the public. Basic protective measures against the new coronavirus. [En línea] 31 de 03 de 2020. [Citado el: 14 de 04 de 2020.] https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019/advice-for-public.
2. Ministerio de Sanidad, Consumo y Bienestar Social. Buenas prácticas en los centros de trabajo. [En línea] Actualización 11 de abril, 11 de 04 de 2020. [Citado el: 14 de 04 de 2020.] https://www.mscbs.gob.es/gabinetePrensa/notaPrensa/pdf/GUIA110420172227802.pdf.
3. CDC. Centers for Disease Control and Prevention. Prevent Getting Sick. Social Distancing, Quarantine, and Isolation. [En línea] 04 de 04 de 2020. [Citado el: 14 de 04 de 2020.] https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/prevent-getting-sick/social-distancing.html.
4. colaboradores de Wikipedia. Conjetura del panal de abeja. [En línea] Código de versión de la página: 120215259, 12 de 10 de 2019. [Citado el: 14 de 04 de 2020.] https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjetura_del_panal_de_abeja&oldid=120215259.
5. —. Empaquetamiento de esferas. [En línea] Código de versión de la página: 119288427, 13 de 09 de 2019. [Citado el: 15 de 04 de 2020.] https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Empaquetamiento_de_esferas&oldid=119288427.

Ilustración 1. Portada ilustrada con teselado regular cuadrado.
Ilustración 2. Panal de abejas. Joydeep / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)
Ilustración 3 Estudio del hexágono.
Ilustración 4. Distribución de personas según un teselado hexagonal.

Tabla 1. Densidades de ocupación según CTE-DB-SI.

Ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
(4)